Quisiera quitarle el apellido a mi hijo, el que se lo dio no es el padre biológico

Doctor mi pregunta es: yo tengo un hijo de 2 años, el padre biológico nunca quiso saber de él, desde el primer momento que le dije que estaba embarazada me dijo que abortara y sino que me tocaría sola, yo seguí mi embarazo y cuando nació mi bebe y al poco tiempo lo hospitalizaron y me dijeron que si no lo registraba pronto me tocaba pagar la cuenta, entonces como yo tengo otro hijo con otra persona el me dijo que le pondría el apellido de el y como yo estaba tan confundida accedí a que el lo registrara.
yo no quiero que mi hijo lleve el apellido de él porque a la vez me a tocado sola este tiempo y mi pregunta es como hago para quitarle el apellido del padre de mi otro hijo el cual no es el padre biológico. espero me puedas ayudar con esto para poder salir de esta incertidumbre.