¿Cómo puedo obtener la custodia completa de mi hijo?

Hola! Después de 2 años, la amenaza de demanda por alimentos y mucha paciencia, el papa de mi hijo finalmente lo va a reconocer. Por mi trabajo tengo que viajar dentro y fuera del país y nunca ha sido un problema porque el niño tiene mis apellidos. Ahora que el va a tener su apellido me comentaron que para seguir viajando tranquila podría pedir la custodia completa justificada con que el papá nunca ha estado interesado en el niño y jamas le ha dado nada. ¿Qué puedo hacer? De antemano muchas gracias.